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Produits scalaires et produits vectoriels

Attention : si vous êtes professeur de mathématiques, merci de ne pas lire les lignes ci-dessous. Je décline toute responsabilité dans la crise cardiaque qui pourrait résulter de la lecture de cette tambouille personnelle.

En SI, nous utilisons uniquement des Bases OrthoNormées Directs, ex : $$$(\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})$$$

Le but est de calculer très rapidement les produits scalaires et vectoriels d’un couple de vecteur présent sur une même figure de projection sans avoir à projeter les vecteurs et appliquer la règle du $$$\gamma$$$. Ces figures doivent toujours être représentées de la même façon, avec le vecteur perpendiculaire au plan de la feuille qui pointe vers le lecteur et l’angle de définition de la deuxième base par rapport à la première compris entre 15 et 30°.

Je parle de package pour deux vecteurs définis directement par l’angle repérant une base par rapport à l’autre ex : $$$\overrightarrow{x_1}$$$ et $$$\overrightarrow{n}$$$ sont reliés directement par $$$\alpha$$$.

Produits scalaires

• dans une seule base :
  • le produit scalaire de deux vecteurs identiques vaut 1, ex : $$$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{x_1}=1$$$
  • le produit scalaire de deux vecteurs distincts vaut 0, ex : $$$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{y_1}=0$$$
• avec deux bases :
  • le produit scalaire de deux vecteurs d’un même package donne le cosinus de l’angle. ex : $$$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{n}=\cos(\alpha)$$$
  • le produit scalaire de deux vecteurs de deux packages différents donne le sinus de l’angle. Pour le signe, il faut regarder si l’angle entre les deux vecteurs est $$$\dfrac{\pi}2$$$ + l’angle (cela donnera - car ils regardent chacun de son côté...) ou $$$\dfrac{\pi}2$$$ - l’angle (cela donner + car ils regardent dans le même sens). ex : $$$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{v}=-\sin(\alpha)$$$ et $$$\overrightarrow{y_1}.\overrightarrow{n}=\sin(\alpha)$$$

Produits vectoriels

• dans une même base :
  • le produit vectoriel d’un vecteur par lui-même est nul, ex : $$$\overrightarrow{x_1}\wedge\overrightarrow{x_1}=\overrightarrow0$$$
  • en utilisant l’orthonormalité et le sens direct, pour trouver le produit vectoriel de deux vecteurs différents d’une même base orthonormée direct, il suffit d’écrire les vecteurs à la suite : $$$\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1},\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{y_1}$$$ si les vecteurs se suivent directement de gauche à droite dans la suite précédente, le signe du produit vectoriel est positif et le résultat est porté par le vecteur suivant dans la liste, sinon, le signe est négatif et c’est le vecteur précédent dans la liste. Ex : $$$\overrightarrow{z_1}\wedge\overrightarrow{y_1}=-\overrightarrow{x_1}$$$.

• avec deux bases :
  • le résultat du produit vectoriel est normal au plan formé par les deux vecteurs dont on fait le produit. Le résultat sera donc porté par le vecteur normal au plan de la figure (sinon, c’est qu’on est dans le cas précédent).
  • histoires de package : la norme d’un produit vectoriel est proportionnel au sinus de l’angle entre les deux vecteurs dont on fait le produit. Ainsi :
    • s’ils appartiennent au même package, c’est sinus
    • sinon, c’est cosinus
  • pour le signe, le sens trigo étant défini, si on se déplace du premier vecteur vers le deuxième en allant dans le sens trigonométrique (avec un angle inférieur à $\pi$ évidemment...) on mettra un + au produit vectoriel sinon, un - .
  • exemples : $$$\overrightarrow{x_1}\wedge\overrightarrow{n}=+\sin(\alpha).\overrightarrow{z_1}$$$ et $$$\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{x_1}=-\cos(\alpha).\overrightarrow{z_1}$$$

Et si pas sur la même figure ?

Il faut les y ramener par projections successives.

Entraînement :

Python est votre ami ; il peut vous poser des questions.

Sinon, le site d’un collègue fait l’affaire.